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Démontrer que $$f(t)=t\mathcal U(t)-2(t-1)\mathcal U(t-1)+(t-2)\mathcal U(t-2). $$ En déduire la transformée de Laplace de $f$. Enoncé Retrouver l'originale des transformée de Laplace suivantes: $\displaystyle \frac1{(p+1)(p-2)}$. On pourra chercher $a, b$ tels que $$\frac{1}{(p+1)(p-2)}=\frac a{p+1}+\frac b{p-2}. $$ $\displaystyle \frac{e^{-2p}}{p+3}$. $\displaystyle \frac{5p+10}{p^2+3p-4}$. On pourra chercher $a$ et $b$ tels que $$\frac{5p+10}{p^2+3p-4}=\frac a{p+4}+\frac b{p-1}. $$ $\displaystyle \frac{p-7}{(p-7)^2+1}$. $\displaystyle \frac{p}{p^2-6p+13}$. On pourra remarque que $p^2-6p+13=(p-3)^2+4$. Déterminer $a$ et $b$ de sorte que $$\frac{p}{(p-1)(p+1)}=\frac a{p-1}+\frac b{p+1}. $$ En déduire la fonction causale $f$ dont la transformée de Laplace est $\frac{p}{(p-1)(p+1)}$. Soit $y$ une fonction causale solution de l'équation dont on suppose qu'elle admet une transformée de Laplace $F$. Exprimer, en fonction de $F$, la transformée de Laplace de $y'$. Démontrer que $F$ satisfait l'équation Déterminer $a, b, c$ tels que $$\frac{p^2-6p+10}{(p-1)(p-2)(p-3)}=\frac{a}{p-1}+\frac b{p-2}+\frac{c}{p-3}.
Supposons que $v(0)=0$. Notons $V=\mathcal L(v)$ et $E=\mathcal L(e)$. Établir la relation entre $V$ et $E$ sous forme $V(p)=T(p)E(p)$ avec une fonction $T$ que l'on déterminera. La fonction $T$ est appelée fonction de transfert. En déduire la réponse du système, c'est-à-dire la tension $v(t)$, aux excitations suivantes: un échelon de tension, $e(t)=\mathcal U(t)$; un créneau $e(t)=H(t)-H(t-t_0)$. Tracer les graphes correspondants. Plutôt pour BTS \mathbf 3. \ te^{4t}\mathcal U(t) Calculer, pour $t>0$, $g'(t)$. Que valent $\lim_{x\to 0^+}g(x)$ et $\lim_{x\to 0^+}g'(x)$? Soit $a>0$. Déterminer la transformée de Laplace de $t\mapsto t\mathcal U(t-a)$. On considère le signal suivant: Calculer, à partir de la définition, sa transformée de Laplace. Décomposer le signal en une combinaison linéaire de signaux élémentaires. Retrouver alors le résultat en utilisant le formulaire. Enoncé On considère la fonction causale $f$ dont le graphe est donné par la représentation graphique suivante: Déterminer l'expression de $f$ sur les intervalles $[0, 1]$, $[1, 2]$ et $[2, +\infty[$.
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