En déduire que le seul triplet de nombres réels vérifiant la condition précédente est le triplet (1, 1, 1). Il nous manquerait simplement une condition sur le produit des trois nombres pour construire une équation du troisième degré ayant pour racines. Nous poserons arbitrairement ce produit égal à un paramètre complexe. Nous avons alors: Les nombres x, y, z sont alors les trois racines de l'équation:, qui se met sous la forme. Les triplets de nombres complexes répondant à la question sont donc: ( étant un paramètre complexe), ainsi que les triplets obtenus en permutant de toutes les façons possibles les trois coordonnées. Ces trois coordonnées sont réelles si et seulement si les trois nombres le sont. Puisque, cela n'est possible que si, c'est-à-dire. Le triplet obtenu est alors (1, 1, 1). Remarque Pour un autre exercice sur la somme et le produit des racines d'une équation du troisième degré, voir l'exercice 7-5.
Objectifs Connaitre l'expression de la somme et du produit des racines d'un polynôme. Savoir utiliser la somme et le produit des racines d'un polynôme pour obtenir la forme factorisée ou la forme développée. Points clés Les racines peuvent souvent être trouvées grâce aux coefficients de la forme développée. La forme développée d'un polynôme s'obtient facilement grâce à la somme et au produit de ses racines. Pour bien comprendre Savoir ce qu'est un polynôme de degré 2 Savoir ce qu'est une racine d'un polynôme de degré 2 1. Somme et produit des racines b. Expression de la somme et du produit des racines 2. Utilisations a. Obtenir l'expression développée b. Obtenir l'expression factorisée À l'inverse, à partir de la forme développée d'une fonction polynôme de degré deux, on peut trouver ses racines éventuelles et: On peut alors souvent, avec intuition, deviner quelles nombres ont pour produit et somme pour identifier les racines. Vous avez déjà mis une note à ce cours. Découvrez les autres cours offerts par Maxicours!
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