• Il est facile de calculer les coordonnées d'un vecteur quelconque à partir des coordonnées des points A et B. Dans un repère du plan, soit A un point de coordonnées et B un point de coordonnées, alors le vecteur a pour coordonnées. • Soit et deux vecteurs de coordonnées et, alors: – la somme de deux vecteurs et est un vecteur qui a pour coordonnées; – le produit d'un vecteur par un réel k est un vecteur qui a pour coordonnées. Exercice n°5 Exercice n°6 7. Projeté orthogonal Définition: Soit un point M est un point extérieur à une droite (d). On dit que le point N de la droite (d) est le projeté orthogonal du point M sur la droite (d) lorsque les droites (MN) et (d) sont perpendiculaires. Démonstration: Le projeté de M sur (d) est le point le plus proche de M. 2nd - Cours - Repérage dans le plan. Soit un point M est un point extérieur à une droite (d). Soit H le projeté orthogonal de M sur (d). Soit A un point de la droite (d) distinct de H. Le triangle MHA est rectangle en H donc d'après le théorème de Pythagore on a l'géalité suivante: MA 2 + HA 2 + MH 2.
Objectifs Le repérage dans un plan sert à positionner ou à placer un point avec précision. On utilise généralement le repère orthogonal. Comment définir précisément la position d'un point dans un plan? Comment noter les coordonnées d'un point? 1. Définition Deux droites graduées qui se coupent perpendiculairement en leur origine forment un repère du plan. Dans le plan, chaque point est repéré par deux nombres relatifs appelés coordonnées du point: son abscisse et son ordonnée, qui sont toujours citées dans cet ordre. Exemple: Remarque: Le repère ci-dessus est appelé repère orthogonal, car les deux axes forment un angle droit. 2. Notation Soit x et y les coordonnées d'un point M du plan. x est l' abscisse du point M et y est son ordonnée. On note M ( x; y). Dans le repère, le point R a pour abscisse 3 et pour ordonnée –2. On dit que R a pour couple de coordonnées (3; –2). On note R (3; –2). Plan de repérage construction. De même, le point P a pour couple de coordonnées (–3; 4). On note P (–3; 4). Astuce! Pour se souvenir où se trouvent l'abscisse et l'ordonnée d'un point dans un repère orthogonal, on peut s'aider de l'écriture manuscrite: l'initiale du mot « abscisse » se prolonge à l'horizontale: l'axe des abscisses correspond à l'axe horizontal du repère.
2) Pour trouver les coordonnées du milieu, il faut donc calculer la moyenne des abscisses et la moyenne des ordonnées des extrémités du segment. Exemple 2: Calculer les coordonnées d'un milieu 1) Dans un repère (O; I, J), placer les points suivants:R(−1; 4); S(−2; 1); T (3; 0) et U (4; 3). 2) Calculer les coordonnées du milieu du segment [RT] puis du segment [SU]. Conclure. 1 Repérage dans le plan Correction: 1) Choisissons un repère orthonormé: 2) x R + x T 2 =−1+3 2 =1 et y R + y T 2 =4+0 2 =2. Les coordonnées du milieu du segment [RT] sont (1; 2). x S + x U 2 =−2+4 2 =1 et y S + y U 2 =1+3 Les coordonnées du milieu du segment [SU] sont (1; 2). Le quadrilatère RST U a ses diagonales [RT] et [SU] qui se coupent en leur milieu. Donc RST U est un parallélogramme. Cartésien : Définition simple et facile du dictionnaire. III Distance entre deux points Propriété: Distance entre deux points Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on note (x A; y A) et (x B; y B) les coordonnées de A et B. La distance entre deux points A et B donnée par la formule suivante: AB = q (x B − x A) 2 +¡ y B − y A ¢ 2 1) Cette propriété n'est valable que dans un repère orthonormal.
I Coordonnées d'un point dans un repère Repérer un point dans le plan c'est définir un repère et indiquer les coordonnées de ce point dans le repère. Définition: Repère Définir un repère, c'est donner trois points O, I et J non alignés dans un ordre précis. On note (O; I, J) ce repère. + Le point O est appelé l'origine du repère. + La droite (OI) est l'axe des abscissesorienté de O vers I. La longueur OI indique l'unité sur cet axe. Plan de repérage 2. + La droite (O J) est l'axe des ordonnéesorienté de O vers J. La longueur O J indique l'unité sur cet axe. + Lorsque les axes (OI) et (O J) sont perpendiculaires et que les longueurs OI et O J sont égales, on parle de repère orthonormé. Exemple 1: Lire les coordonnées d'un point Dans le repère orthonormé (O; I, J) ci-contre: 1) Les coordonnées du point M sont (2;−1). 2) Le point A a pour coordonnées (−2; 3). II Coordonnées du milieu d'un segment Propriété: Milieu d'un segment Dans le plan muni d'un repère, on note (x A; y A) et (x B; y B) les coordonnées de A et B. Les coordonnées du milieu du segment [ AB] sont données par la formule suivante: ³ x A + x B 2; y A + y B 2 ´ Remarques: 1) Cette propriété est valable dans n'importe quel type de repère.
II Milieu d'un segment Propriété 2: On considère deux points $A\left(x_A;y_A\right)$ et $B\left(x_B;y_B\right)$ du plan muni d'un repère $(O;I, J)$. On appelle $M$ le milieu du segment $[AB]$. Les coordonnées de $M$ sont alors $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$. Repérage dans le plan. Exemple 1: Dans le repère $(O;I, J)$ on considère $A(4;-1)$ et $B(1;2)$. Ainsi les coordonnées du milieu $M$ de $[AB]$ sont: $\begin{cases} x_M = \dfrac{4 + 1}{2} = \dfrac{5}{2}\\\\y_M = \dfrac{-1 + 2}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$ Exemple 2: On utilise la formule pour retrouver les coordonnées de $A$ connaissant celles de $M$ et de $B$. On considère les points $B(2;-1)$ et $M(1;3)$ du plan muni d'un repère $(O;I, J)$. Soit $A\left(x_A, y_A\right)$ le point du plan tel que $M$ soit le milieu de $[AB]$. On a ainsi: $\begin{cases} x_M = \dfrac{x_A+x_B}{2} \\\\y_M = \dfrac{y_A+y_B}{2} \end{cases}$ On remplace les coordonnées connues par leur valeurs: $\begin{cases} 1 = \dfrac{x_A+2}{2} \\\\3 = \dfrac{y_A-1}{2} \end{cases}$ On résout maintenant chacune des deux équations.